📘 CFA 一级 · Quant

第 1 周讲义：Time Value of Money（时间价值）

一、这一周你只需要搞清楚 4 件事

如果你能做到下面这 4 条，本周就算合格 ✅：

  1. 钱为什么有时间价值
  2. 会 PV / FV 的互相转换
  3. 会算 NPV / IRR，知道它们各自的“坑”
  4. 知道 CFA 偏爱 NPV，不迷信 IRR

二、核心思想（先背这段）

一块钱今天比明天值钱
因为：

  • 可以投资
  • 有风险
  • 有通胀

👉 CFA 后面所有估值、债券、股票，本质都在干一件事：折现

三、最基础：现值（PV）和终值（FV）

1. 终值 FV（今天的钱，未来值多少）
公式

$$ 𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 × (1+𝑟)^𝑛 $$

变量解释
  • PV：现值（现在的钱）
  • r：利率 / 折现率
  • n：期数
例子

今天 1000 元，年利率 5%，3 年后是多少？

$$ 𝐹𝑉 = 1000 × (1.05)^3 = 1157.6 $$

📌 考试点
  • r 和 n 是“指数关系”，不是线性
  • 年复利 > 单利
2. 现值 PV（未来的钱，现在值多少）
公式

$$ 𝑃𝑉 = \frac{𝐹𝑉}{(1 + 𝑟)^𝑛} $$ ​

例子

3 年后拿 1157.6 元，年利率 5%，现在值多少？

$$ 𝑃𝑉 = \frac{1157.6}{(1.05)^3} = 1000 $$

📌 记忆技巧
  • FV 是“放大”
  • PV 是“打折”

四、多期现金流（为 NPV 做准备）

现实投资几乎都是这样：

年份 现金流
0 -1000
1 +300
2 +400
3 +500

👉 原则：
每一笔钱，都要单独折现到今天

五、净现值 NPV（CFA 最爱的指标）

1. 定义

$$ 𝑁𝑃𝑉 = \sum\frac{𝐶𝐹_{𝑡}}{(1 + 𝑟)^𝑡} − 初始投资 $$ ​

2. 决策规则（必背）
  • NPV > 0 → 投
  • NPV < 0 → 不投
  • 多个项目 → 选 NPV 最大的

📌 CFA 一级最常考的就是这句

3. 例题（典型）

投资 1000
第 1 年 400
第 2 年 400
折现率 10%

$$ 𝑁𝑃𝑉 = \frac{400}{1.1} + \frac{400}{1.1^2} − 1000 $$

如果 NPV < 0 → 直接淘汰

4. NPV 的优点（考试爱问）
  • 考虑时间价值 ✅
  • 使用真实资本成本 ✅
  • 可直接反映“增加多少财富” ✅

六、内部收益率 IRR（最容易被坑）

1. 定义

使 NPV = 0 的折现率

$$ 0 = \sum\frac{𝐶𝐹_{𝑡}}{(1 + 𝐼𝑅𝑅)^𝑡} − 初始投资 $$

2. 决策规则（但要小心）
  • IRR > 折现率 → 看起来可投
  • IRR < 折现率 → 不投

3. IRR 的 3 个大坑（一级重点）

❌ 坑 1：多个 IRR

  • 现金流正负号反复变化
  • 会出现不止一个 IRR

👉 CFA 态度：IRR 不可靠

❌ 坑 2：互斥项目

  • A 项目 IRR 高，但赚得少
  • B 项目 IRR 低，但赚得多

👉 选 NPV，不选 IRR

❌ 坑 3：再投资假设

  • IRR 假设：中间现金流按 IRR 再投资（不现实）
  • NPV 假设：按资本成本再投资（合理）

📌 CFA 官方立场：NPV > IRR

七、年金（Annuity）——必考但不难

1. 普通年金
  • 每期末收钱
  • 房贷、养老金

2. 先付年金

  • 每期初收钱
  • 房租

📌 区别一句话：

先付年金 = 普通年金 × (1 + r)

八、有效年利率 EAR（概念题常考）

名义利率 ≠ 实际利率

$$ 𝐸𝐴𝑅 = (1 + \frac{𝑟_{𝑛𝑜𝑚}}{𝑚})^𝑚 − 1 $$

📌 复利次数越多 → EAR 越高

九、本周必背清单（不背=白学）

✅ FV / PV 公式
✅ NPV 决策规则
✅ IRR 三大缺陷
✅ CFA 偏好：NPV > IRR

十、本周自测（你可以现在就做）

Q1
如果折现率上升，NPV 会怎样？
👉 下降

Q2
互斥项目该用 IRR 还是 NPV？
👉 NPV

Q3
为什么 CFA 不迷信 IRR？
👉 多 IRR + 再投资假设不现实